【M021】贝叶斯定理—曹哲成长社群

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贝叶斯定理（Bayes’ theorem）掌握贝叶斯定理，让不确定性成为决策优势

一、是什么？

（一）基本概念

贝叶斯定理（Bayes’ Theorem）是概率论中的一个重要理论，用于描述在给定相关证据或数据的情况下，某个假设的概率是如何变化的。

（二）本质

贝叶斯定理的本质是在已知某些条件下，通过概率推理来更新对一个假设的信念。

也就是在获取新数据之后，如何更新我们对于某个未知量（例如参数、模型或假设）的信念。

（三）核心思想

核心思想是利用先验概率和似然性来计算后验概率，从而在新证据出现时更新我们对某个假设的信念。

二、来源和理论依据

（一）来源

贝叶斯定理由【英】托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在18世纪中叶提出，并在贝叶斯去世后由【英】理查德·普莱斯（Richard Price）于1763年发表。

（二）推导过程

贝叶斯定理是通过概率论的原理，特别是条件概率的定义，以及全概率公式推导得出的。

三、故事和案例

（一）历史故事

贝叶斯定理的一个著名历史案例是拉普拉斯利用该定理来估计太阳和月亮的相对年龄，这是贝叶斯统计在实际问题中应用的早期例子。

在19世纪初，法国数学家和天文学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）利用贝叶斯定理来估计太阳系的年龄。这个故事发生在18世纪末到19世纪初，拉普拉斯通过对太阳系动力学的研究，特别是行星之间的引力相互作用，提出了一个关于太阳系稳定性的问题。

拉普拉斯认识到，为了估计太阳系的年龄，需要知道太阳和其他行星之间的引力相互作用对行星轨道稳定性的影响。他使用了贝叶斯定理来结合天体观测数据和物理定律，从而推断太阳系可能的年龄范围。他的工作不仅展示了贝叶斯定理在天文学中的应用，也体现了如何将先验知识和观测数据结合起来解决科学问题。

拉普拉斯的方法是贝叶斯统计在实际问题中应用的早期例子之一，并且对后世的科学研究产生了深远的影响。他的工作表明，即使在数据不完整或存在不确定性的情况下，贝叶斯定理也能够提供一个强大的工具来更新我们对未知参数的信念。

（二）生活举例

在医学检测中，即使一个测试具有很高的准确率，由于疾病的基础概率很低（先验概率），一个阳性结果的后验概率可能并不高，这是贝叶斯定理在日常生活中的应用。

（三）实例

假设你和朋友玩完了一场桌游，在休息时，你们发起了一个小赌注：掷一个骰子，看能否掷出6。基础的概率是1/6，约等于16%。

然后你的朋友掷出了骰子，并迅速地遮住了它，偷偷瞥了一眼。“我只能告诉你，”她说，“这是一个偶数。”有了这个新信息，你的成功概率立即上升到1/3，即33%。

当你考虑是否改变赌注时，她又补充道：“另外，这不是4。”这一额外信息再次改变了你的成功概率，现在变成了1/2，即50%。通过这个简单的例子，你实际上已经应用了贝叶斯分析。

（四）实操方法

步骤 1：明确问题

首先，弄清楚你想解决的具体问题，比如“今天是否需要带伞”。

步骤 2：根据先验信息进行初始判断

根据你已经知道的信息（比如天气预报或以往的经验），建立一个初步的看法或判断。

步骤 3：观察新信息

留意与问题相关的新信息。这些信息可能来自不同的来源，比如天空的云量、朋友的建议等。

步骤 4：更新信念

根据新信息，重新评估你的初步判断。问自己：“这个新信息是让我更确信还是更怀疑我的初步判断？”然后相应地调整你的看法。

步骤 5：做出决策

基于更新后的信念，做出最终决策。在“是否需要带伞”的例子中，如果新信息让你更确信会下雨，那么最好带上伞。

步骤 6：学习和调整

观察结果，看看你的决策是否准确。这将帮助你在将来遇到类似问题时做出更好的决策。

（五）注意要点

初始问题和判断要尽量具体明确。如果问题和判断都比较模糊的话，不利于后续的观察和分析；
不要忽视“先验信息”。即在新信息出现之前已有的知识或信念。我们容易过分强调最新的信息，而忽视既有的信息。
对新信息保持开放的心态。始终保持开放和灵活的思维态度，以便根据新信息来更新你的信念。别让先入之见限制你。
在收集新信息时，尽量从多个不同的可靠来源获取数据。这可以减少偏见和误差。
所有信息并不是同等重要。某些信息可能更可靠或与问题更直接相关，应赋予更高的权重。
在更新信念和做出决策时，尝试结合逻辑分析和直觉判断。两者都是有用的决策工具。
根据你的最终判断来采取行动，并观察结果。这不仅有助于你评估自己的决策质量，也为未来的类似决策提供了有价值的反馈。
贝叶斯推理是一个持续的过程。随着新信息的不断出现，不断更新你的信念，并用这些更新来指导你未来的决策。

四、对于个人的启示

1.持续学习与更新认知：个人应不断学习新知识，更新对世界的理解。

2.批判性思维：面对信息，应批判性地分析，而不是盲目接受。

3.适应性决策：在不确定性环境下，使用贝叶斯方法来做出更合理的决策。

五、对于企业组织的启示

1.数据驱动决策：企业应利用贝叶斯统计来分析和预测市场趋势。

2.风险管理：在风险评估时，考虑先验知识和新证据，采用动态更新的概率模型。

3.产品和服务优化：通过贝叶斯方法不断调整和优化产品及服务。

六、相关的思想模型和普遍智慧

贝叶斯网络：一种概率图模型，用于表示变量之间的概率关系。
最大似然估计：一种统计方法，用于估计统计模型中的参数。

七、利用第一性原理思考此理论

（一）思考

从第一性原理的角度出发，贝叶斯定理提供了一种基于逻辑和概率推理的决策框架。

（二）反例

一个反例可能是在完全确定的情境下，贝叶斯定理的应用可能不会提供额外的价值，因为不需要通过概率来更新信念。

八、贝叶斯定理：预测未来

贝叶斯定理（Bayes’ theorem）是一种将概率思维融入我们生活的便捷方式。

托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）是 18 世纪的一位英国牧师，他最著名的著作《解决机会学说中的问题的论文_》于 1763 年——在他去世两年后——由他的朋友理查德·普莱斯（Richard Price）引起皇家学会的注意。这篇文章没有包含我们现在所知道的定理，但有这个想法的种子。它研究了在遇到影响情况的新数据时如何调整我们对概率的估计。后来法国学者皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）等人的发展帮助编纂了该定理，并将其发展成为有用的思考工具。

了解概率计算的确切数学原理并不是理解贝叶斯思维的关键。更关键的是，你有能力和愿望将真实和准确的概率分配给你认为你知道的任何事情，然后愿意在新信息出现时更新这些概率。

以下是《投资：最后的文科》一书中的一个简短示例，说明了它是如何运作的：

让我们想象一下，你和一个朋友花了一下午的时间玩你最喜欢的棋盘游戏，现在，在游戏结束时，你正在谈论这个和那个。你的朋友说的话会让你下个友好的赌注：从游戏中掷出一个骰子，你会得到一个6。直线赔率是六分之一，概率为16%。但是，假设你的朋友掷骰子，迅速用手盖住它，然后偷看一眼。“我可以告诉你这么多，”她说;“这是一个偶数。”现在你有了新的信息，你的几率急剧变化到三分之一，概率为33%。当你在考虑是否改变你的赌注时，你的朋友开玩笑地补充道：“而且这不是4。有了这些额外的信息，你的几率又变了，变成了二分之一，50%的概率。通过这个非常简单的示例，您已经执行了贝叶斯分析。每一条新信息都会影响原始概率，这就是贝叶斯[更新]。

内特·西尔弗（Nate Silver）和埃利泽·尤德科夫斯基（Eliezer Yudkowsky）都写过关于医学测试（特别是乳房X光检查）的贝叶斯定理的文章。想象一下，你生活在一个有 1 亿 40 岁以下女性的国家。过去的趋势表明，在这个国家，40岁以下的女性患乳腺癌的几率为1.4%，大约有140万女性。

乳房 X 光检查将在 75% 的时间内检测到乳腺癌。他们会给出假阳性——比如说一个女人患有乳腺癌，而实际上她没有——大约有 10% 的时间。起初，您可能只关注乳房 X 光检查数字，并认为 75% 的成功率意味着阳性是坏消息。让我们来算一算。

如果所有 40 岁以下的女性都接受乳房 X 光检查，那么假阳性率将给 1000 万 40 岁以下的女性带来她们患有乳腺癌的消息。但是因为你知道第一个统计数据，只有 1.4 名 40 岁以下的女性真正患上了乳腺癌，你知道 860 万检测呈阳性的女性实际上不会患乳腺癌！

这是很多不必要的担忧，这导致了很多不必要的医疗护理。为了纠正这种误解并做出更好的使用乳房 X 光检查的决定，我们在查看结果时绝对必须考虑先验知识，并尝试根据这些知识更新我们的信念。